La dimostrazione dell'irrazionalità di radice di due
Posted: Wed Jan 07, 2026 11:18 am
Ciao,
sto abbozzando il mio secondo romanzo. E' un libro che si svolge su 2 time line diverse: una moderna, una antica. Nella time line antica si narra di come la scoperta dei numeri irrazionali portò alla rovina della filosofia pitagorica e mi è venuta un'idea ardita (forse troppo): drammaizzare la scoperta dell'irrazionalità della radice di due attraverso la sua dimostrazione esplicita nel testo.
So che potrei scrivere che venne dimostrato con alcuni brevi passaggi, ma mi piaceva l'idea di portare il lettore attraverso la dimostrazione.
cosa ne pensate?
ecco la bozza dell'etratto del testo a cui mi riferisco (scusate, ma copiando il testo tutti i formati sono andati un po' per conto loro: ho dovuto togliere le formule e sostiruirle con testo)
sto abbozzando il mio secondo romanzo. E' un libro che si svolge su 2 time line diverse: una moderna, una antica. Nella time line antica si narra di come la scoperta dei numeri irrazionali portò alla rovina della filosofia pitagorica e mi è venuta un'idea ardita (forse troppo): drammaizzare la scoperta dell'irrazionalità della radice di due attraverso la sua dimostrazione esplicita nel testo.
So che potrei scrivere che venne dimostrato con alcuni brevi passaggi, ma mi piaceva l'idea di portare il lettore attraverso la dimostrazione.
cosa ne pensate?
ecco la bozza dell'etratto del testo a cui mi riferisco (scusate, ma copiando il testo tutti i formati sono andati un po' per conto loro: ho dovuto togliere le formule e sostiruirle con testo)
Ippaso rimase in piedi davanti al tavolo, le mani strette dietro la schiena. Si mordeva l'interno della guancia così forte da sentire il sapore del sangue. Pitagora si voltò verso di lui sorridendo e gli indicò un cuscino di fronte al tavolo.
"Siediti, amico mio."
I due si sedettero, ma Ippaso continuava a fissare le venature del legno del tavolo, illuminato da un raggio di sole, cercando di non incontrare lo sguardo del suo maestro
"Qualcosa ti tormenta," disse Pitagora, appoggiando la mano sul braccio del suo discepolo prediletto.
Per un lungo momento Ippaso non disse nulla, combattuto sul da farsi. Poi, mantenendo lo sguardo basso, mormorò:
"Damone è il mio miglior allievo…"
"Lo so." La voce di Pitagora era calda, accogliente. "E lo è anche grazie a te."
"Oggi..." sospirò Ippaso, "oggi è giunto a un dubbio che da tempo tormenta anche me."
"Continua." Disse il maestro un po’ sorpreso.
"Lui e Filolao avevano costruito un quadrato perfetto! Poi hanno provato a misurare la diagonale..." Ippaso abbassò la voce, come per non farsi sentire. "Damone ha intuito che ... potrebbe esistere una grandezza che non può essere espressa come rapporto di numeri interi.” Deglutì a fatica. Non osava pronunciare quell’eresia.
Ma lo fece il suo maestro: “Una grandezza incommensurabile."
Quelle parole - grandezza incommensurabile - erano un terremoto. Ippaso credette di sentire esplodere il cuore nel suo petto. Cercò di respirare, ma continuava a ripensare alle conseguenze di quelle dannate parole.
Se esiste un solo elemento nel cosmo che non può essere descritto come rapporto tra numeri interi, allora il principio su cui abbiamo costruito la nostra filosofia - panta arithmos, tutto è numero - diventava una menzogna.
Sentì Pitagora trattenere il respiro. Ippaso alzò gli occhi, cercando di controllarsi.
Con sua enorme sorpresa sul volto di Pitagora c'era qualcosa di inquietante: non stupore, ma affaticamento. Come se quello stesso peso lo schiacciasse da molto tempo.
"E tu," disse il maestro con cautela, "cosa pensi di questa intuizione?"
Ippaso strinse i denti. "Sono giunto alla stessa conclusione."
Il maestro chiuse gli occhi e alzò il viso come chi affronta un dolore. "Raccontami."
Ippaso si alzò. Non riusciva a stare seduto, non con quello che doveva dire.
"Settimane fa, ho provato a calcolare la radice quadrata di due.”
Cominciò a camminare avanti e indietro, le mani che gesticolavano, gli occhi che passavano da un oggetto all’altro.
“Procedevo per tentativi, cercando il numero che moltiplicato per sé stesso desse due."
La voce si fece veloce, delirante.
"1,4 al quadrato dava 1,96. Troppo poco. 1,41 dava 1,9881. Ancora troppo poco. Ho continuato, aggiunto cifre, decimali, restringendo l'approssimazione..."
“Quanto hai proseguito?" chiese Pitagora, le mani gli tremavano.
"Venti cifre dopo la virgola."
Abbassò il viso, respirando affannosamente.
"Alla fine mi sono fermato." Ippaso si passò una mano sul volto. "Frustrato. Svuotato. E mi sono chiesto: che razza di frazione può descrivere un numero così... così mostruoso?"
Si voltò lentamente verso il maestro. "All'inizio mi sono sentito sconfitto. Come se fossi io ad essere inadeguato, non i numeri." Rise amaramente. "Ma poi..."
"Poi?" Lo incalzò Pitagora.
"Poi un lampo. Una domanda." Fece una pausa. "E se non esistesse alcuna frazione per descriverlo?"
Vide Pitagora barcollare sulla sedia.
Ippaso chiuse gli occhi e deglutì “Mi sembrava impossibile, ma poi sono riuscito ad averne prova."
"Prova?" esclamò Pitagora, il terrore puro nei suoi occhi.
"Sì." Rispose Ippaso quasi in un singhiozzo. "L'ho dimostrato."
La voce del Maestro era ridotta a un sussurro. "Mostrami."
Ippaso prese una tavoletta cerata dallo scaffale con mani che gli tremavano. Trasse il suo stilo dalla tasca e lo posò su quella superficie. Cominciò a scrivere, ma le prime lettere erano tremolanti, quasi illeggibili.
"Supponiamo che,” disse cercando di schiarirsi la voce, poichè ogni parola gli usciva mezza soffocata, “la radice di due possa essere espressa come frazione. Ovvero che …” E scrisse sulla tavoletta:
√2=α/β
“Ipotizziamo che sia una frazione ai minimi termini, cioè che e non abbiano altri divisori in comune.”
Pitagora volle puntualizzare. “Questo è ovvio, se ci fossero divisori comuni, potremmo eliminarli fino ad arrivare a una frazione irriducibile. Quindi possiamo, effettivamente, partire da α e β che non hanno altri divisori in comune oltre all'uno.”
“Giusto” rispose riconoscente il discepolo e, credendo di aver guadagnato la fiducia del Maestro, continuò a scrivere più concentrato. “Questo vuole dire che:”
2=α²/β²
Pitagora non diceva nulla. Era immobile come una statua, ma i suoi occhi seguivano ogni movimento dello stilo. Ippaso proseguì, senza badare all’espressione tesa del suo Maestro. “se moltiplico entrambi i termini per β² allora”
2β²=α²
“Dato che qualsiasi numero moltiplicato per 2 è pari, allora sia 2β², che α² sono numeri pari, visto che sono uguali.”
Pitagora annuì serio e aggiunse “Quindi sei arrivato alla conclusione che è pari perché il suo quadrato è pari, corretto?”
“Esatto, questo è il primo punto” Confermò Ippaso concitato.
“Ora, continuiamo. Ogni numero pari può essere scritto come un numero più piccolo, diciamo γ, moltiplicato per 2, quindi diciamo, per esempio, che sia α=2γ.”
Sostituì nell'equazione. Le mani scrivevano frenetiche:
2β²=(2γ)²=4γ²
Si voltò verso Pitagora. I suoi occhi erano accesi come se fosse in uno stato febbrile.
“Maestro, non capite? …” Lo guardò quasi supplicandolo.
Ma il gran maestro si limitò a dire "Prosegui."
Lo stilo cadde dalla mano di Ippaso e rotolò sul pavimento con un suono secco. Ma lui non lo raccolse subito. Fissava la tavoletta come se contenesse un'oscenità.
“E quindi … se divido per 2 entrambi i termini …”. Raccolse lo stilo e aggiunse.
β²=(2γ)²
Ippaso si fermò fissando Pitagora. Poi guardò quella semplice equazione. Sembrava innocua. Ma era una bomba sul punto di esplodere.
Per un lungo momento nessuno dei due parlò.
Fuori dalla finestra, una cicala cominciò il suo canto monotono, un suono che sembrava venire da un mondo infinitamente lontano.
"Maestro …” insistette Ippaso cercando di risvegliare l’attenzione di Pitagora
“… questo significa che b al quadrato è pari, quindi anche b è pari."
Il vecchio non reagì.
Ippaso fece due passi verso il suo maestro. Una lacrima gli scivolò lungo la guancia. Non se ne accorse nemmeno.
“Maestro, avevamo ipotizzato che a e b non avessero fattori comuni …" la voce un filo, le mani allargate.
"… voi stesso me lo avete confermato. Eppure, ecco la dimostrazione che entrambi sono pari, quindi entrambi sono divisibili per due."
Silenzio.
Poi all’improvviso Pitagora disse: "È una contraddizione." Come se pronunciasse una sentenza.
“La radice di due non può essere espressa come frazione.” Il maestro si voltò dando le spalle a Ippaso. “Lo sapevo."
“Lo sapevate?!"
Le due parole caddero nella stanza come pietre in un pozzo, lasciando il vuoto dietro di loro.
Ippaso fece un passo indietro. Si appoggiò ad uno scaffale.
Pitagora si avvicinò alla finestra, la schiena ancora rivolta verso di lui. Le mani intrecciate dietro la schiena. Tremava. Il grande filosofo, che aveva fondato una scuola basata sull'armonia dei numeri, tremava come una foglia al vento.
"Anche io sono giunto alla stessa conclusione."
Il mondo vacillò. Ippaso si aggrappò allo scaffale per non cadere.
"Cosa?" La parola gli uscì come un rantolo.
Pitagora indicò con un gesto lento la porta, l'intarsio che rappresentava il loro simbolo.
"vedi il pentagono? Cercavo di calcolare il rapporto tra la sua diagonale e il lato." Abbassò lo sguardo e sorrise con amarezza, scuotendo la testa. "Il simbolo della nostra scuola. L'emblema della nostra perfezione. E ho scoperto che quel rapporto non può essere espresso come frazione. Proprio come la radice di due."
Si voltò. Sulla sua faccia c'era un'espressione che Ippaso non aveva mai visto: paura.
"Da quanto lo sapete, Maestro?" chiese angosciato.
"Anni," ammise Pitagora. " lo guardò negli occhi. "Pensavi davvero di averla scoperto per primo? Che potesse sfuggirmi?" Scosse la testa. "No, Ippaso. Io lo sapevo."
Ippaso sentì il pavimento vacillare sotto i suoi piedi.
"Anni," ripeté, stordito. "E non avete detto nulla?!"
"Cosa diavolo avrei dovuto dire?" La voce di Pitagora esplose improvvisamente, riempiendo la stanza. Alzò le mani al cielo. "Dovevo dire che il fondamento della nostra filosofia è una menzogna? Che la nostra armonia perfetta ha crepe al suo interno?"
Si avvicinò al tavolo, vi si appoggiò come se le gambe non lo reggessero più.
"Questa scoperta deve rimanere segreta, Ippaso. Nessuno deve sapere."
"Segreta?" Ippaso sentì la rabbia montare dentro, calda, rovente. "Ma questa è la verità!"
"La verità?" Pitagora lo guardò con un'espressione furente. "Sai cosa succederebbe se questa 'verità' venisse divulgata? La nostra scuola crollerebbe. La nostra credibilità si polverizzerebbe. Tutto ciò per cui abbiamo lavorato..."
"Ma..."
"Zitto! Taci! Sai chi è Cilone?!" Quel nome esplose dalle labbra di Pitagora come un'accusa carica di tensione.
Ippaso si fermò. "Cilone? Quell'uomo che chiese di entrare a far parte della nostra scuola due anni fa?" Guardò il maestro confuso. "È stato respinto. Troppo ricco e potente, troppo arrogante e violento." Scosse la testa. "Ma cosa c'entra con il nostro problema?"
Ippaso vide per la prima volta la rabbia venare il volto del suo saggio maestro. "Cilone sta cercando un pretesto per distruggerci. Quell'uomo è diventato il nostro nemico più pericoloso. Cerca vendetta!"
Pitagora si allontanò dalla finestra, cominciando a camminare avanti e indietro nella stanza. Le sue mani gesticolavano mentre parlava.
"Usa il suo oro per fomentare il malcontento," continuò. "Ci dipinge come un'oligarchia segreta che controlla il potere di Crotone." Fece una pausa, guardando Ippaso. "Non si rende conto che noi influenziamo le assemblee per guidare le decisioni politiche verso scelte giuste, che siano a vantaggio di tutti."
"Ma maestro, è giusto che sia così!” mormorò Ippaso. “Solo i migliori possano governare con saggezza, solo coloro che hanno dedicato la vita alla conoscenza e alla virtù."
"Esatto mio caro! È il governo degli aristoi! Il governo dei migliori." Pitagora si fermò davanti alla finestra, lo sguardo perso verso l'orizzonte dove Crotone si estendeva fino al mare. "Ma raccontalo a Cilone! Quel vile intrigante, vuole sostituirci con una democrazia.”
Chiuse gli occhi.
"Immagina, Ippaso…” Nella sua voce traspariva un orrore genuino, come se stesse descrivendo un incubo. “… Il contadino che non sa leggere voterebbe sulle leggi. Il mercante interessato solo al profitto deciderebbe sulla guerra o la pace.” Riaprì gli occhi e fissò il suo discepolo. “La massa è guidata dalle passioni e dagli interessi del momento. La democrazia trascinerebbe la città nel caos."
Si lasciò cadere sulla sedia, improvvisamente esausto.
"Il pericolo è reale," disse Ippaso, ma la voce era dura. "Ma questo non cambia la verità matematica."
"Non cambia?" Reagì incredulo Pitagora, trattenendo la rabbia. "Non capisci? Se riveliamo che la nostra filosofia ha un difetto, Cilone userà questo contro di noi. Dirà che siamo ciarlatani, che le nostre teorie sono false, che non meritiamo di guidare la città."
"Ma non è vero! Ogni nuova scoperta è un progresso … " Cercò di insistere il discepolo.
"Santi numi, Ippaso!" esclamò Pitagora con un grido che sconvolse la stanza come un'onda nella tempesta. “Vero o non vero, quello che conta è la percezione! E la percezione sarà che abbiamo mentito, che abbiamo costruito il nostro potere su una bugia!"
Il silenzio tornò, pesante come piombo.
"Quindi dovremmo mentire?" La voce di Ippaso era gelida.
"Non mentire. Non divulgare." Pitagora pronunciò le parole lentamente, come se dovesse convincere anche sé stesso. Ma alla fine disse risoluto "Non possiamo permetterci di parlare. Non ora. Non finché la nostra posizione non sia più sicura."
"E quando credere che sarà abbastanza sicura?" L'amarezza di Ippaso riempiva ogni sillaba. "Tra un anno? Dieci? Mai?"
Il sole aveva raggiunto lo zenit. La luce che entrava dalla finestra era accecante, spietata. Pitagora non rispose. Si passò una mano sulla barba bianca, lo sguardo perso.
"Non lo so," ammise alla fine il maestro e in quelle tre parole c'era tutto il peso del suo fardello. "Ma so che rivelare questa verità ora significherebbe la nostra fine. E con essa finirebbe l'unica guida saggia di questa città."
Fece una pausa e fissò il suo discepolo negli occhi. "Sei disposto a pagare questo prezzo?"
Ippaso si alzò e si avvicinò al suo maestro alla finestra. Da lì vedeva il giardino dove quella mattina i suoi allievi avevano litigato. Gli ulivi ondeggiavano nella brezza, le foglie argentee brillavano al sole. Tutto sembrava pacifico, ordinato.
Senza voltarsi, chiese. "E Damone? Il mio allievo ha intuito questa verità da solo. Come posso chiedergli di dimenticarla?"
Sentì il peso di quella decisione schiacciargli il petto. Non riuscì a trattenere le lacrime.
Pitagora si voltò verso di lui. "Non chiedergli di dimenticarla, ma di custodirla.”
Gli posò una mano sulla spalla.
"Tu sei uno dei nostri maestri più rispettati. Damone ti ascolta, ti ammira. Sta a te fargli capire l'importanza del silenzio."
Ippaso si asciugò gli occhi con il dorso della mano. Guardò il giardino, perfetto nella sua armonia apparente. Tutto ciò che Pitagora diceva aveva senso. I pericoli erano reali. Cilone era una minaccia concreta. La caduta della scuola avrebbe significato il trionfo dell'ignoranza.
Eppure.
Eppure, c'era quel numero impossibile. Quella dimostrazione, inoppugnabile nella sua logica. C'era la verità, nuda e terribile nella sua dissonanza con l'armonia pitagorica.
"Parlerò con Damone," disse alla fine con voce stanca. "Ma non posso prometterti che accetterà."
"Devi insistere!" La presa di Pitagora sulla spalla si fece più forte. "Deve capire. Il silenzio, ora, è saggezza."
Ippaso annuì lentamente, ma poi si voltò. Si diresse verso la porta senza dire altro.
Quando la sua mano si posò sulla maniglia, vide, di fronte a lui, l'intarsio dorato della stella nel pentagono. Vide quel dannato simbolo di perfezione che ora sapeva contenere l'impossibile, l'incommensurabile. E sentì il peso di quel segreto come un macigno che si appoggia sullo stomaco.
La verità è come l'acqua, pensò trova sempre una via d'uscita.
Uscì.
La porta si chiuse dietro di lui con un suono sordo che echeggiò lungo i bianchi corridoi.
Nella stanza, Pitagora rimase immobile davanti alla finestra. Aveva appena chiesto al suo miglior discepolo di tradire ciò in cui entrambi credevano. E sapeva che qualcosa tra loro si era spezzato per sempre.